Imprimer cette page

Pertes thermiques d’une habitation

On considère une habitation dont les murs font 12x12m de côté, 5m de haut et 30 cm d’épaisseur. La surface du toit est égale à 130m2, et la charpente est revêtue d’un matériau isolant d’épaisseur 20 cm. On considère la maison comme parfaitement isolée du sol thermiquement. La température intérieure de la maison est uniforme et égale à 20°C. Les conductivités thermiques et coefficients d’échange superficiels sont les suivants:
λmur=0.6 kcal.h-1.m-1.°C-1, λisolant=0.04 kcal.h-1.m-1.°C-1, λverre=1 kcal.h-1.m-1.°C-1.
Air intérieur - murs (ou charpente): hi=5 kcal.h-1.m-2.°C-1, air extérieur - murs (ou toit): he=8 kcal.h-1.m-2.°C-1.

1°) Calculer les pertes thermiques attribuables aux murs et à la toiture lorsqu’il fait -5°C à l’extérieur. En déduire la puissance de chauffage nécessaire en kW. Calculer alors le prix du chauffage au gaz pour deux mois sachant que le kWh est facturé par GDF 4 centimes d'€ et que la chaudière à un rendement de 70%.

2°) Reprendre ce calcul en considérant que les murs intérieurs sont recouverts de 20cm de matériau isolant et comparer. Dans la suite, on considèrera les mur avec isolant.

3°) La chaudière installée dans la maison (avec isolation des murs) à une puissance maximale consommée de 4 kW (η=70%, donc une puissance utile de 2.8 kW). Calculer la température qui règnera dans la maison si la température extérieure descend à -20°C. Calculer également la facture de chauffage correspondante.

4°) Les murs de la maison sont en réalité percés de 12 fenêtres de 1.3×1.6m et de 0.8 cm d’épaisseur. Recalculer les pertes thermiques, la puissance de chauffage et le prix sur deux mois dans les conditions de la question 1°). Discuter de l’intérêt d’un double vitrage.

5°) La chaudière de la maison sert aussi à la production d’eau chaude sanitaire, à partir d’eau de ville à 15°C. La consommation journalière d’eau chaude est de 500 litres à 55°C. Calculer le coût associé en le comparant à celui du chauffage

Réponse

Réponse

  • 1°) Mur 7273, toit 610 kcal.h-1, Putile=9.15 kW, coût 766€
  • 2°) Mur 1030, toit 610 kcal.h-1, Putile=1.9 kW, coût 159 €
  • 3°) 16.75°C, 234 €
  • 4°) Mur 923, fenêtre 1877, toit 610 kcal.h-1, Putile=3.96 kW, coût 331€
  • 5°) Eau chaude: 81 € sur deux mois.
Correction

Correction

1°) On utilise le modèle des résistances thermiques pour résoudre le problème.

  • La surface totale des murs est Smur=(12+12+12+12)×5=240 m2
  • La résistance thermique des murs s'écrit: Rmur=1/(hi×Smur)+e/(λmur×Smur)+1/(he×Smur)=1/(5×240)+0.3/(0.6×240)+1/(8×240)=3.437e-3 kcal-1.h.°C.
  • Le flux thermique s'écrit Φmur=(θie)/Rmur=(20-(-5))/3.437e-3=7273 kcal.h-1.
  • La résistance thermique globale du toit s'écrit: Rtoit=1/(hi×Stoit)+e/(λisolant×Stoit)+1/(he×Stoit)=1/(5×130)+0.2/(0.04×130)+1/(8×130)=4.096e-2 kcal-1.h.°C.
  • Le flux thermique s'écrit Φtoit=(θie)/Rtoit=(20-(-5))/4.096e-2=610 kcal.h-1.
  • La puissance à fournir, ramenée en kW, est Putile=(7273+610)×4.18/3600=9.15 kW.

Sur deux mois, il y a 30+31=61 jours, soit 61×24=1464 heures. Sans isolation des murs, il faudra fournir dans la maison une quantité d'énergie de 9.15×1464=13400 kWh, la chaudière devra fournir 13400/0.70=19143 kWh, et le coût sera de 19143×0.04=766 €.

2°) Si les murs sont revétus d'un matériaux isolant, on a:

  • R'mur=1/(hi×Smur)+emur/(λmur×Smur)+eisolant/(λisolant×Smur)+1/(he×Smur), soit
  • R'mur=1/(5×240)+0.3/(0.6×240)+0.2/(0.04×240)+1/(8×240)=2.427e-2 kcal-1.h.°C.
  • Le flux thermique s'écrit Φ'mur=(θie)/R'mur=(20-(-5))/2.427e-2=1030 kcal.h-1.
  • La puissance à fournir, ramenée en kW, est P'utile=(1030+610)×4.18/3600=1.9 kW.

Sur deux mois avec isolation, le coût sera de 1.9×1464×0.04/0.70=159 €. Le coût est presque divisé par 5, l'isolation des murs sera sans doute très vite amortie.

3°) Le bilan énergétique s'écrit flux entrant=flux sortant. Le flux entrant est 70% de celui consommé par la chaudière (70% de 4 kW, soit 2.8 kW). Le flux sortant est égal au flux traversant les murs et le toit, et est fonction de la différence de température Δθ entre l'intérieur et l'extérieur, soit:

  • 0.70×P=Φmurtoit=(θie)/Rmur+(θie)/Rtoit=(θie)×(1/Rmur+1/Rtoit), d'ou
  • ie)=0.70×P/(1/Rmur+1/Rtoit), et
  • θie+0.70×P/(1/Rmur+1/Rtoit)=-5+0.70×(4×3600/4.18)/(1/2.427e-2+1/4.096e-2)=16.75 °C.
  • La facture sera de 4×1464×0.04=234 €.

Rq: à ces températures, il fera un peu froid dans la maison. Néanmoins, en France, une température de -20°C est exceptionnelle et on considèrera donc la chaudière comme suffisante. Un chauffage d'appoint pourra être mis en service en cas de grand froid (cheminée par exemple).

4°) Les fenêtres ont une surface totale de 12×1.3×1.6=25.0 m2.

  • Leur résistance thermique est Rfen=1/(hi×Sfen)+efen/(λverre×Sfen)+1/(he×Sfen), soit
  • Rfen=1/(5×25)+0.008/(1×25)+1/(8×25)=1.332e-2 kcal-1.h.°C.
  • La nouvelle résistance thermique des murs (leur surface est réduite de 25 m2) est Rmur=1/(5×215)+0.3/(0.6×215)+0.2/(0.04×215)+1/(8×215)=2.709e-2 kcal-1.h.°C.
  • Les flux thermiques sont Φfen=(θie)/Rfen=25/1.332e-2=1877 kcal.h-1, Φmur=(θie)/Rmur=25/2.709e-2=923 kcal.h-1, et Φtoit=(θie)/Rtoit=25/4.096e-2=610 kcal.h-1,
  • Le flux global est Φmurtoitfen=(θie)×(1/Rmur+1/Rfen+1/Rtoit)=25×(1/2.709e-2+1/1.332e-2+1/4.096e-2)=3410 kcal.h-1,
  • La puissance de la chaudière est P=3410×4.18/3600=3.96 kW,
  • Le coût est 5.66×1464×0.04/0.70=331 €, au lieu de 159 €.

Cela représente un doublement du coût, la présence de double vitrage, plus isolant qu'une simple fenêtre, a donc une grande importance sur l'ensemble des pertes thermiques d'une maison.

5°) La production d'eau chaude sanitaire représente une quantité d'énergie journalière de 500×1×(55-15)=20000 kcal. En kW.h, cela fait 20000×4.18/3600=23.22 kW.h. Sur deux mois, le coût associé est 23.22×61×0.04/0.70=81 €.