Pertes thermiques d’une habitation
On considère une habitation dont les murs font 12x12m de côté, 5m de haut et 30 cm d’épaisseur. La surface du toit est égale à 130m2, et la charpente est revêtue d’un matériau isolant d’épaisseur 20 cm. On considère la maison comme parfaitement isolée du sol thermiquement. La température intérieure de la maison est uniforme et égale à 20°C. Les conductivités thermiques et coefficients d’échange superficiels sont les suivants:
λmur=0.6 kcal.h-1.m-1.°C-1, λisolant=0.04 kcal.h-1.m-1.°C-1, λverre=1 kcal.h-1.m-1.°C-1.
Air intérieur - murs (ou charpente): hi=5 kcal.h-1.m-2.°C-1, air extérieur - murs (ou toit): he=8 kcal.h-1.m-2.°C-1.
1°) Calculer les pertes thermiques attribuables aux murs et à la toiture lorsqu’il fait -5°C à l’extérieur. En déduire la puissance de chauffage nécessaire en kW. Calculer alors le prix du chauffage au gaz pour deux mois sachant que le kWh est facturé par GDF 4 centimes d'€ et que la chaudière à un rendement de 70%.
2°) Reprendre ce calcul en considérant que les murs intérieurs sont recouverts de 20cm de matériau isolant et comparer. Dans la suite, on considèrera les mur avec isolant.
3°) La chaudière installée dans la maison (avec isolation des murs) à une puissance maximale consommée de 4 kW (η=70%, donc une puissance utile de 2.8 kW). Calculer la température qui règnera dans la maison si la température extérieure descend à -20°C. Calculer également la facture de chauffage correspondante.
4°) Les murs de la maison sont en réalité percés de 12 fenêtres de 1.3×1.6m et de 0.8 cm d’épaisseur. Recalculer les pertes thermiques, la puissance de chauffage et le prix sur deux mois dans les conditions de la question 1°). Discuter de l’intérêt d’un double vitrage.
5°) La chaudière de la maison sert aussi à la production d’eau chaude sanitaire, à partir d’eau de ville à 15°C. La consommation journalière d’eau chaude est de 500 litres à 55°C. Calculer le coût associé en le comparant à celui du chauffage
Réponse
Réponse
- 1°) Mur 7273, toit 610 kcal.h-1, Putile=9.15 kW, coût 766€
- 2°) Mur 1030, toit 610 kcal.h-1, Putile=1.9 kW, coût 159 €
- 3°) 16.75°C, 234 €
- 4°) Mur 923, fenêtre 1877, toit 610 kcal.h-1, Putile=3.96 kW, coût 331€
- 5°) Eau chaude: 81 € sur deux mois.
Correction
Correction
1°) On utilise le modèle des résistances thermiques pour résoudre le problème.
- La surface totale des murs est Smur=(12+12+12+12)×5=240 m2
- La résistance thermique des murs s'écrit: Rmur=1/(hi×Smur)+e/(λmur×Smur)+1/(he×Smur)=1/(5×240)+0.3/(0.6×240)+1/(8×240)=3.437e-3 kcal-1.h.°C.
- Le flux thermique s'écrit Φmur=(θi-θe)/Rmur=(20-(-5))/3.437e-3=7273 kcal.h-1.
- La résistance thermique globale du toit s'écrit: Rtoit=1/(hi×Stoit)+e/(λisolant×Stoit)+1/(he×Stoit)=1/(5×130)+0.2/(0.04×130)+1/(8×130)=4.096e-2 kcal-1.h.°C.
- Le flux thermique s'écrit Φtoit=(θi-θe)/Rtoit=(20-(-5))/4.096e-2=610 kcal.h-1.
- La puissance à fournir, ramenée en kW, est Putile=(7273+610)×4.18/3600=9.15 kW.
Sur deux mois, il y a 30+31=61 jours, soit 61×24=1464 heures. Sans isolation des murs, il faudra fournir dans la maison une quantité d'énergie de 9.15×1464=13400 kWh, la chaudière devra fournir 13400/0.70=19143 kWh, et le coût sera de 19143×0.04=766 €.
2°) Si les murs sont revétus d'un matériaux isolant, on a:
- R'mur=1/(hi×Smur)+emur/(λmur×Smur)+eisolant/(λisolant×Smur)+1/(he×Smur), soit
- R'mur=1/(5×240)+0.3/(0.6×240)+0.2/(0.04×240)+1/(8×240)=2.427e-2 kcal-1.h.°C.
- Le flux thermique s'écrit Φ'mur=(θi-θe)/R'mur=(20-(-5))/2.427e-2=1030 kcal.h-1.
- La puissance à fournir, ramenée en kW, est P'utile=(1030+610)×4.18/3600=1.9 kW.
Sur deux mois avec isolation, le coût sera de 1.9×1464×0.04/0.70=159 €. Le coût est presque divisé par 5, l'isolation des murs sera sans doute très vite amortie.
3°) Le bilan énergétique s'écrit flux entrant=flux sortant. Le flux entrant est 70% de celui consommé par la chaudière (70% de 4 kW, soit 2.8 kW). Le flux sortant est égal au flux traversant les murs et le toit, et est fonction de la différence de température Δθ entre l'intérieur et l'extérieur, soit:
- 0.70×P=Φmur+Φtoit=(θi-θe)/Rmur+(θi-θe)/Rtoit=(θi-θe)×(1/Rmur+1/Rtoit), d'ou
- (θi-θe)=0.70×P/(1/Rmur+1/Rtoit), et
- θi=θe+0.70×P/(1/Rmur+1/Rtoit)=-5+0.70×(4×3600/4.18)/(1/2.427e-2+1/4.096e-2)=16.75 °C.
- La facture sera de 4×1464×0.04=234 €.
Rq: à ces températures, il fera un peu froid dans la maison. Néanmoins, en France, une température de -20°C est exceptionnelle et on considèrera donc la chaudière comme suffisante. Un chauffage d'appoint pourra être mis en service en cas de grand froid (cheminée par exemple).
4°) Les fenêtres ont une surface totale de 12×1.3×1.6=25.0 m2.
- Leur résistance thermique est Rfen=1/(hi×Sfen)+efen/(λverre×Sfen)+1/(he×Sfen), soit
- Rfen=1/(5×25)+0.008/(1×25)+1/(8×25)=1.332e-2 kcal-1.h.°C.
- La nouvelle résistance thermique des murs (leur surface est réduite de 25 m2) est Rmur=1/(5×215)+0.3/(0.6×215)+0.2/(0.04×215)+1/(8×215)=2.709e-2 kcal-1.h.°C.
- Les flux thermiques sont Φfen=(θi-θe)/Rfen=25/1.332e-2=1877 kcal.h-1, Φmur=(θi-θe)/Rmur=25/2.709e-2=923 kcal.h-1, et Φtoit=(θi-θe)/Rtoit=25/4.096e-2=610 kcal.h-1,
- Le flux global est Φmur+Φtoit+Φfen=(θi-θe)×(1/Rmur+1/Rfen+1/Rtoit)=25×(1/2.709e-2+1/1.332e-2+1/4.096e-2)=3410 kcal.h-1,
- La puissance de la chaudière est P=3410×4.18/3600=3.96 kW,
- Le coût est 5.66×1464×0.04/0.70=331 €, au lieu de 159 €.
Cela représente un doublement du coût, la présence de double vitrage, plus isolant qu'une simple fenêtre, a donc une grande importance sur l'ensemble des pertes thermiques d'une maison.
5°) La production d'eau chaude sanitaire représente une quantité d'énergie journalière de 500×1×(55-15)=20000 kcal. En kW.h, cela fait 20000×4.18/3600=23.22 kW.h. Sur deux mois, le coût associé est 23.22×61×0.04/0.70=81 €.
