Réponse

HMT requise=70 mCL, puissance hydraulique P_hyd=19 kW, 0.02°C.

Correction

Les pertes de charge à l'aspiration et au refoulement étant données, il n'y a pas lieu de les calculer. La HMT requise pour la pompe se calcule en écrivant l'équation de Bernouilli généralisée entre les points 1 (niveau de liquide du bac d'aspiration) et 3 (entrée dans la colonne), ici écrite en pression:

• P₁+½ρv₁²+ρgz₁+ΔP_pompe= P₃+½ρv₃²+ρgz₃+ΔP_f1->2+ΔP_f2'->3

La vitesse v₃ est déterminé par la relation Débit volumique = vitesse d'écoulement×section de l'écoulement, soit:

• Section S= πD²/4=3.1416×0.150²/4=0.01767 m²
• d'ou v₃=(100/3600)/0.01767=1.57 m.s^-1 (100/3600 est le débit volumique convertit en m³.s^-1)

On obtient

• ΔP_pompe=P₃-P₁+½ρv₃²-½ρv₁²+ρgz₃-ρgz₁+ΔP_f1->2+ΔP_f2'->3
• avec P₁=1.013.e5 Pa, v₁=0 (bac à niveau constant), z₁=2 m, P₃=6.013.e5 Pa, v₃=1.57 m.s^-1, z₃=12 m,
• soit ΔP_pompe=6.013.e5-1.013.e5+1000×1.57²/2-0+1000×9.81×(12-2)+0.27.e5+0.60.e5
• soit encore ΔP_pompe=5.e5+1232.5+98100+0.87.e5=6.86.e5 Pa

La HMT requise pour la pompe est donc HMT=ΔP_pompe/(ρ×g)=6.86.e5/(1000×9.81)=70 mCL.

La puissance hydraulique est donnée par P_hyd=Qv×ΔP_pompe=Qv×ρgHMT=(100/3600)×1000×9.81×70=19075 W, soit 19 kW.

On peut également résoudre en écrivant l'équation de Bernouilli en hauteur de fluide, soit:

• P₁/ρg+v₁²/2g+z₁+HMT_pompe= P₃/ρg+v₃²/2g+z₃+J_f1->2+J_f2'->3
• avec J_f1->2+J_f2'->3=(0.27.e5+0.6.e5)/(1000×9.81)=8.87 mCL,
• (P₃-P₁)/ρg=(6.013.e5-1.013.e5)/(1000×9.81)=50.97 mCL,
• et z₃-z₁=10 mCL, et v₃²/2g=0.13 mCL,
• d'ou HMT_pompe=50.97+8.87+10=69.97, soit 70 mCL.

Question subsidiaire: les pertes de charge sont des pertes de pression - d'énergie dues aux frottements du fluides (internes et à la parois). En supposant que toutes les pertes par frottement sont transformées en chaleur au sein du fluide, on peut écrire (en Joules.h^-1):

Débit×cp×Δθ=Qv×(ΔP_f1->2+ΔP_f2'->3)

d'ou Δθ=Qv×(ΔP_f1->2+ΔP_f2'->3)/(Débit×cp)=100×(0.87.e5)/(100000×4180)=0.021°C